Otimização da seção¶

O recurso exclusivo do SBX. O SBO responde "esta seção aguenta?"; o SBX responde a pergunta inversa: qual é a seção mais barata que aguenta?

O método¶

Programação quadrática sequencial — SLSQP, do scipy.optimize. É um método de otimização não linear com restrições, baseado em gradiente.

A escolha se explica pela forma do problema. As variáveis são contínuas — largura e altura em centímetros —, a função de custo é suave quase em todo o domínio, e o espaço tem só duas dimensões. Num problema assim, um método de gradiente converge em dezenas de avaliações, enquanto uma metaheurística gastaria milhares para chegar ao mesmo ponto.

Por que não enumerar, como no otimizador de blocos

O otimizador de blocos do GCX enumera exaustivamente, porque lá o espaço é discreto e pequeno — bitola de catálogo, número inteiro de estacas.

Aqui não: \(b\) e \(h\) são contínuos. Enumerar exigiria discretizar, e a discretização que desse a mesma precisão teria milhares de pontos. O gradiente é a ferramenta certa para variável contínua.

As variáveis¶

Seção	Variáveis
Retangular	largura \(b\) e altura \(h\)
T	largura da alma \(b_w\) e altura \(h\)

Na seção T, a mesa é dada — \(b_f\) e \(h_f\) não variam. Faz sentido: a mesa costuma ser a laje, cuja geometria vem de fora da viga.

A função objetivo¶

\[ C = c_{concreto}\cdot V_c \;+\; c_{aço}\cdot\left(P_s + P_{sw}\right) \]

com \(V_c\) o volume de concreto por metro de viga, \(P_s\) o peso da armadura longitudinal e \(P_{sw}\) o das transversais, ambos pela massa específica de 7850 kg/m³.

O peso dos estribos considera o perímetro da seção:

\[ P_{sw} = \frac{A_{sw}}{10^4}\cdot 7850 \cdot \frac{2(b+h)}{100} \]

O modo consumo¶

Zerar os dois custos muda o que se otimiza

Se você informar custo zero para concreto e aço, o objetivo passa a ser o volume geométrico total — concreto mais aço, convertido pela massa específica:

\[ C = V_c + \frac{P_s + P_{sw}}{7850} \]

É útil quando você não tem preços confiáveis, ou quer a seção de menor consumo material independentemente de preço. O resultado muda: aço e concreto passam a competir por volume, e não por dinheiro.

As restrições¶

Limites das variáveis¶

Variável	Mínimo	Máximo
\(b\) ou \(b_w\)	12 cm	100 cm
\(h\) (retangular)	20 cm	300 cm
\(h\) (seção T)	\(h_f + 5\) cm	300 cm

O mínimo de 12 cm é a largura mínima de viga da NBR 6118.

A viga não pode ser mais larga que alta¶

\[ h \ge b \]

É a única restrição explícita de desigualdade. Sem ela, o otimizador encontraria seções deitadas — eficientes no papel, esquisitas na obra.

As verificações estruturais entram por dentro¶

Aqui está a decisão mais importante do desenho: as verificações não são restrições do otimizador. Cada avaliação da função objetivo executa o dimensionamento completo — flexão, cortante, torção, interação de bielas — e, quando ele falha, devolve uma penalidade:

\[ C_{inviável} = 10^6 + b\,h \]

Assim o otimizador só percorre seções que de fato passam, sem precisar de expressões analíticas de cada restrição normativa — que seriam dezenas, e mudariam a cada revisão de norma.

O chute inicial¶

SLSQP é um método local: ele desce do ponto onde começa. Se começar numa seção inviável, o gradiente da penalidade não o guia para fora.

Por isso há uma busca prévia. Partindo da seção que você informou, enquanto ela for inviável:

aumenta \(h\) em 10 cm;
se ainda inviável, aumenta \(b\) em 5 cm;
repete, até 20 vezes.

Crescer a seção é o caminho mais curto para a viabilidade, e por isso a busca anda nessa direção.

Mínimos embutidos na avaliação¶

Duas armaduras entram no custo mesmo quando o cálculo não as exige — porque elas serão executadas de qualquer forma:

Armadura	Valor
Longitudinal mínima	\(A_s \ge 3{,}14\) cm² — quatro barras de 10 mm
De pele	\(0{,}10\%\,b\,h\) para \(h \ge 60\) cm; \(0{,}05\%\,b\,h\) para \(h \ge 50\) cm; zero abaixo

Sem esses mínimos, o otimizador enxergaria vigas altas como mais baratas do que são: a armadura de pele cresce com a altura e é justamente o que freia o alongamento da seção.

O que fazer com o resultado¶

O resultado é contínuo; a obra não é

O otimizador devolve algo como \(b = 17{,}3\) cm e \(h = 62{,}8\) cm. Nenhuma fôrma se executa assim.

Arredonde para cima, em múltiplos de 5 cm, e rode o SBO na seção arredondada para confirmar que ela passa. Arredondar para cima quase sempre mantém a viabilidade — mas "quase sempre" não é "sempre", e a confirmação custa um clique.

Verifique se a otimização convergiu

O SLSQP informa se convergiu. Quando não converge — o que acontece em seções muito restringidas, ou quando o chute inicial não alcança a região viável em 20 passos —, o valor devolvido não é um ótimo, é o ponto onde ele parou.

Limites de validade¶

Faixa de aplicação

O ótimo é local, não global. SLSQP desce do ponto inicial. Uma seção inicial diferente pode levar a um resultado diferente. Se o resultado surpreender, tente outro ponto de partida e compare.
A penalidade de inviabilidade é descontínua. Métodos de gradiente pressupõem função suave, e na fronteira entre viável e inviável essa hipótese se rompe — o otimizador pode oscilar ali. O termo \(b\,h\) na penalidade ainda aponta para seções menores, que são mais inviáveis; é o chute inicial viável que compensa isso, não o gradiente.
Otimiza uma seção isolada, com os esforços que você informou. Não considera que reduzir a altura da viga muda o peso próprio, e com ele os próprios esforços — essa realimentação é sua.
Não considera padronização: cada viga é otimizada sozinha. Numa obra, dez vigas com dez seções diferentes custam mais em fôrma do que a soma dos ótimos individuais sugere.
Não considera estados limites de serviço. A seção mais barata no ELU pode ter flecha inaceitável — e é o caso comum em vigas esbeltas.
Os preços são seus. O resultado é tão bom quanto eles: um custo de aço desatualizado desloca o ótimo na direção errada.