Fórmulas por arranjo¶
As expressões fechadas do Método das Bielas para cada configuração de estacas, conforme Bastos (2023) e a NBR 6118.
Em todas: \(N\) é a carga do pilar, \(e\) a distância entre eixos de estacas, \(a_p\) a dimensão do pilar, \(d\) a altura útil, \(A_p\) a área do pilar e \(A_e\) a área da estaca.
Pilar retangular vira quadrado equivalente
As formulações supõem pilar de seção quadrada, com centro coincidente com o centro geométrico do bloco. Para pilar retangular, adota-se
Resumo¶
| Estacas | Arranjo | \(R_s\) | \(\sigma_{lim}\) no pilar | \(\sigma_{lim}\) na estaca |
|---|---|---|---|---|
| 2 | Linear | \(\dfrac{N}{8}\dfrac{2e-a_p}{d}\) | \(1{,}4\,K_R f_{cd}\) | \(1{,}4\,K_R f_{cd}\) |
| 3 | Triângulo | \(\dfrac{N}{9}\dfrac{e\sqrt3-0{,}9a_p}{d}\) | \(1{,}75\,K_R f_{cd}\) | \(1{,}75\,K_R f_{cd}\) |
| 4 | Quadrado | \(\dfrac{N\sqrt2}{16}\dfrac{2e-a_p}{d}\) | \(2{,}1\,K_R f_{cd}\) | \(2{,}1\,K_R f_{cd}\) |
| 5 | Quadrado + centro | \(\dfrac{4}{5}\dfrac{N\sqrt2}{16}\dfrac{2e-a_p}{d}\) | \(2{,}6\,K_R f_{cd}\) | \(2{,}1\,K_R f_{cd}\) |
| 5 | Pentágono | \(\dfrac{0{,}85N}{5d}\left(e-\dfrac{a_p}{3{,}4}\right)\) | dispensada | dispensada |
| 6 | Pentágono + centro | \(\dfrac{0{,}85N}{6d}\left(e-\dfrac{a_p}{3{,}4}\right)\) | dispensada | dispensada |
| 6 | Hexágono | \(\dfrac{N}{6d}\left(e-\dfrac{a_p}{4}\right)\) | dispensada | dispensada |
| 7 | Hexágono + centro | — (ver abaixo) | dispensada | dispensada |
"Dispensada" significa: se a altura útil for adotada dentro do intervalo \(d_{min} \le d \le d_{máx}\), não é necessário verificar a tensão nas bielas. É o próprio intervalo que garante a inclinação segura.
Atenção ao bloco de cinco estacas com uma no centro
É o único arranjo em que o limite no pilar difere do limite na estaca: \(2{,}6\,K_R f_{cd}\) contra \(2{,}1\,K_R f_{cd}\). Nos demais, os dois limites coincidem.
Três estacas — triângulo¶
O pilar é suposto quadrado, com centro coincidente com o centro geométrico do bloco. O esquema de forças é analisado segundo uma das medianas do triângulo formado pelos centros das estacas.
Altura útil¶
| Critério | Intervalo |
|---|---|
| Blévot, \(40^\circ \le \alpha \le 55^\circ\) | \(0{,}485\left(e - 0{,}52a_p\right) \le d \le 0{,}825\left(e - 0{,}52a_p\right)\) |
| Machado (1985), \(45^\circ \le \alpha \le 55^\circ\) | \(0{,}58\left(e - \dfrac{a_p}{2}\right) \le d \le 0{,}825\left(e - \dfrac{a_p}{2}\right)\) |
Bielas¶
Armadura principal¶
\(R_s\) atua na direção das medianas. Para obter a componente na direção dos eixos das estacas, pela lei dos senos:
resultando na armadura paralela aos lados:
Por que paralela aos lados, e não nas medianas
O arranjo com armadura nas medianas foi muito usado no passado, mas tem dois defeitos: a superposição dos três feixes de barras no centro do bloco, e fissuração elevada nas faces laterais causada pela falta de apoio nas extremidades das barras — a chamada "armadura em vazio".
Além disso, ele não atende à NBR 6118 (22.7.4.1.1), que exige pelo menos 85 % da armadura de flexão nas faixas definidas pelas estacas.
A configuração recomendada é armadura principal paralela aos lados, com malha ortogonal — mais usada no Brasil, com menor fissuração e maior economia.
Dimensões em planta¶
Conforme a sugestão de Campos (2015), a dimensão \(A\) da aba do triângulo vale aproximadamente \(1{,}154\,a\), com \(a\) a distância do eixo da estaca à face.
Quatro estacas — quadrado¶
\(R_s\) é a força de tração na direção das diagonais.
Altura útil¶
Para \(45^\circ \le \alpha \le 55^\circ\):
Bielas¶
Armadura principal¶
Há quatro detalhamentos possíveis, e eles não são equivalentes:
| Detalhamento | Desempenho |
|---|---|
| a) Direção das diagonais | Fissuras laterais excessivas já para cargas reduzidas |
| b) Paralela aos lados | Um dos mais eficientes — o mais usual na prática |
| c) Diagonais + paralela aos lados | — |
| d) Malha única | Carga de ruptura inferior às demais, eficiência de 80 %; melhor desempenho quanto à fissuração |
Os detalhamentos a, c e d não atendem à prescrição da NBR 6118 (22.7.4.1.1) de que mais de 85 % da armadura fique nas faixas das estacas.
Para o detalhamento b, com adição de malha:
Cinco estacas — quadrado com uma no centro¶
O procedimento é o do bloco sobre quatro estacas, substituindo \(N\) por \(\frac{4}{5}N\) — a estaca central recebe a sua parcela sem gerar tirante.
Altura útil¶
Para \(45^\circ \le \alpha \le 55^\circ\), a mesma do bloco de quatro estacas:
Bielas¶
Armaduras¶
Pilar muito alongado
Para pilares muito retangulares, projeta-se um bloco retangular sobre cinco estacas, tratado como bloco de quatro estacas com as fórmulas adaptadas às distâncias diferentes.
Outra opção é dispor uma linha com três estacas e outra com duas — nesse caso o cálculo se assemelha ao dos blocos com mais de seis estacas.
Cinco estacas — pentágono¶
As estacas ficam nos vértices de um pentágono, com o centro do pilar quadrado coincidindo com o centro geométrico delas.
Altura útil¶
Para \(45^\circ \le \alpha \le 55^\circ\):
Bielas dispensadas
Se \(d\) for adotado entre \(d_{min}\) e \(d_{máx}\), não é necessário verificar as tensões de compressão nas bielas.
Armaduras¶
Decompondo na direção paralela aos lados, com \(R'_s = \dfrac{R_s}{2\cos 54^\circ}\):
Seis estacas — pentágono com uma no centro¶
Procede-se como no bloco sobre cinco estacas em pentágono, substituindo \(N\) por \(\frac{5N}{6}\):
Altura útil idêntica à do pentágono de cinco estacas, e bielas igualmente dispensadas dentro do intervalo.
Pela lei dos senos, \(R'_s = R_s\dfrac{\text{sen}\,54^\circ}{\text{sen}\,72^\circ} = 0{,}85\,R_s\):
Seis estacas — hexágono¶
As estacas ficam junto aos vértices do hexágono, com pilar quadrado centrado.
Altura útil¶
Para \(45^\circ \le \alpha \le 55^\circ\):
Bielas dispensadas dentro do intervalo.
Armaduras¶
Aqui a lei dos senos dá \(\dfrac{R_s}{\text{sen}\,60^\circ} = \dfrac{R'_s}{\text{sen}\,60^\circ}\), ou seja, \(R'_s = R_s\) — a decomposição não altera a força.
Seis estacas — retangular¶
Indicado para pilares retangulares e alongados. As forças \(R_{sx}\) e \(R_{sy}\) são tratadas separadamente em cada direção, com as distâncias correspondentes.
Sete estacas — hexágono com uma no centro¶
A sétima estaca fica no centro do bloco, sob o pilar. Para \(45^\circ \le \alpha \le 55^\circ\):
A compressão nas bielas não precisa ser verificada se \(d\) estiver no intervalo.
As armaduras são dispostas na direção das diagonais, com cintas paralelas aos lados:
com
O parâmetro \(k\) reparte a força entre diagonais e cintas — é uma escolha de projeto dentro dessa faixa.
Armaduras complementares¶
Valem para qualquer número de estacas: as prescrições da NBR 6118 para armaduras em malha e de suspensão são gerais.
Armadura em malha¶
A NBR 6118 (22.7.4.1.2): "para controlar a fissuração, deve ser prevista armadura positiva adicional, independentemente da armadura principal de flexão, em malha uniformemente distribuída em duas direções ortogonais correspondente a 20 % do total das forças de tração em cada uma delas."
Armadura de suspensão¶
A NBR 6118 (22.7.4.1.3): "se for prevista armadura de distribuição para mais de 25 % dos esforços totais ou se o espaçamento entre estacas for maior que três vezes a altura do bloco, deve ser prevista armadura de suspensão para a parcela de carga a ser equilibrada."
De modo geral, independentemente disso, pode-se prescrever:
com \(n_e\) o número de estacas. A armadura por face é o total dividido pelo número de faces do bloco.
Para que ela serve
A armadura de suspensão evita fissuras nas regiões entre as estacas. Elas podem surgir porque se formam bielas comprimidas que transferem parte da carga do pilar para as regiões inferiores do bloco, entre as estacas, e que se apoiam nas armaduras paralelas aos lados.
Disso nascem trações que precisam ser suspensas para as regiões superiores do bloco, de onde caminham para as estacas.
Armadura superior¶
Armadura de pele¶
Em cada face vertical lateral, em forma de estribos ou barras horizontais:
com \(A_{s,total}\) a armadura principal total — \(3A_{s,lado}\) no bloco de três estacas, \(4A_{s,lado}\) no de quatro, e assim por diante.
Espaçamento: \(s \le \min\left(\dfrac{d}{3};\ 20\ \text{cm}\right)\), e \(s \ge 8\) cm por recomendação prática.
Método do CEB-70¶
Alternativa ao Método das Bielas para blocos rígidos, semelhante ao procedimento das sapatas. A altura do bloco fica limitada por
onde \(c\) é a distância da face do pilar ao eixo da estaca mais afastada.
O método calcula a armadura principal para a flexão, determinada em relação a uma seção de referência \(S_1\) posicionada internamente ao pilar, a \(0{,}15\,a_p\) da face — e verifica a resistência do bloco às forças cortantes.
O PCO não implementa o CEB-70
Os modelos oferecidos são Blévot e MBT. O CEB-70 consta aqui como referência, por ser um dos métodos historicamente mais utilizados no Brasil e aceito pela norma.
Limites de validade¶
Faixa de aplicação
- Todas as expressões supõem pilar centrado e estacas igualmente espaçadas do centro do pilar. Com momentos ou excentricidade, a formulação pura não se aplica.
- Supõem pilar de seção quadrada — retangular entra pelo equivalente \(a_{p,eq} = \sqrt{a_p b_p}\), o que é aproximação tanto pior quanto mais alongado for o pilar.
- Os intervalos de altura útil vêm de \(45^\circ \le \alpha \le 55^\circ\) (Machado) ou \(40^\circ \le \alpha \le 55^\circ\) (Blévot). Fora deles, a dispensa da verificação das bielas não vale, e elas precisam ser verificadas explicitamente.
- Os limites \(\sigma_{lim}\) são os de Blévot, não os da NBR 6118 vigente. Para verificar contra a norma atual, use o MBT.
- Os ensaios de Blévot cobriram blocos de até seis estacas. As expressões para sete estacas e para arranjos compostos extrapolam essa base experimental.