Fórmulas por disposición

Las expresiones cerradas del Método de las Bielas para cada configuración de pilotes, según Bastos (2023) y la NBR 6118.

En todas: \(N\) es la carga del pilar, \(e\) la distancia entre ejes de pilotes, \(a_p\) la dimensión del pilar, \(d\) el canto útil, \(A_p\) el área del pilar y \(A_e\) el área del pilote.

El pilar rectangular se convierte en un cuadrado equivalente

Las formulaciones suponen un pilar de sección cuadrada, con centro coincidente con el centro geométrico del encepado. Para un pilar rectangular, se adopta

\[ a_{p,eq} = \sqrt{a_p \cdot b_p} \]

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Resumen

Pilotes	Disposición	\(R_s\)	\(\sigma_{lim}\) en el pilar	\(\sigma_{lim}\) en el pilote
2	Lineal	\(\dfrac{N}{8}\dfrac{2e-a_p}{d}\)	\(1{,}4\,K_R f_{cd}\)	\(1{,}4\,K_R f_{cd}\)
3	Triángulo	\(\dfrac{N}{9}\dfrac{e\sqrt3-0{,}9a_p}{d}\)	\(1{,}75\,K_R f_{cd}\)	\(1{,}75\,K_R f_{cd}\)
4	Cuadrado	\(\dfrac{N\sqrt2}{16}\dfrac{2e-a_p}{d}\)	\(2{,}1\,K_R f_{cd}\)	\(2{,}1\,K_R f_{cd}\)
5	Cuadrado + centro	\(\dfrac{4}{5}\dfrac{N\sqrt2}{16}\dfrac{2e-a_p}{d}\)	\(2{,}6\,K_R f_{cd}\)	\(2{,}1\,K_R f_{cd}\)
5	Pentágono	\(\dfrac{0{,}85N}{5d}\left(e-\dfrac{a_p}{3{,}4}\right)\)	no requerida	no requerida
6	Pentágono + centro	\(\dfrac{0{,}85N}{6d}\left(e-\dfrac{a_p}{3{,}4}\right)\)	no requerida	no requerida
6	Hexágono	\(\dfrac{N}{6d}\left(e-\dfrac{a_p}{4}\right)\)	no requerida	no requerida
7	Hexágono + centro	— (ver abajo)	no requerida	no requerida

"No requerida" significa: si el canto útil se adopta dentro del intervalo \(d_{min} \le d \le d_{máx}\), no es necesario verificar la tensión en las bielas. Es el propio intervalo el que garantiza la inclinación segura.

Atención al encepado de cinco pilotes con uno en el centro

Es la única disposición en que el límite en el pilar difiere del límite en el pilote: \(2{,}6\,K_R f_{cd}\) contra \(2{,}1\,K_R f_{cd}\). En las demás, los dos límites coinciden.

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Tres pilotes — triángulo

Se supone el pilar cuadrado, con centro coincidente con el centro geométrico del encepado. El esquema de fuerzas se analiza según una de las medianas del triángulo formado por los centros de los pilotes.

\[ \tan\alpha = \frac{d}{e\dfrac{\sqrt3}{3} - 0{,}3\,a_p} \qquad R_s = \frac{N}{9}\left(\frac{e\sqrt3 - 0{,}9\,a_p}{d}\right) \qquad R_c = \frac{N}{3\,\text{sen}\,\alpha} \]

Canto útil

Criterio	Intervalo
Blévot, \(40^\circ \le \alpha \le 55^\circ\)	\(0{,}485\left(e - 0{,}52a_p\right) \le d \le 0{,}825\left(e - 0{,}52a_p\right)\)
Machado (1985), \(45^\circ \le \alpha \le 55^\circ\)	\(0{,}58\left(e - \dfrac{a_p}{2}\right) \le d \le 0{,}825\left(e - \dfrac{a_p}{2}\right)\)

Bielas

\[ A_b = \frac{A_p}{3}\,\text{sen}\,\alpha \ \text{(pilar)} \qquad A_b = A_e\,\text{sen}\,\alpha \ \text{(pilote)} \]

\[ \sigma_{cd,b,pil} = \frac{N_d}{A_p\,\text{sen}^2\alpha} \qquad \sigma_{cd,b,est} = \frac{N_d}{3\,A_e\,\text{sen}^2\alpha} \qquad \sigma_{lim} = 1{,}75\,K_R\,f_{cd} \]

Armadura principal

\(R_s\) actúa en la dirección de las medianas. Para obtener la componente en la dirección de los ejes de los pilotes, por la ley de los senos:

\[ \frac{R_s}{\text{sen}\,120^\circ} = \frac{R'_s}{\text{sen}\,30^\circ} \qquad\Longrightarrow\qquad R'_s = R_s\frac{\sqrt3}{3} \]

lo que resulta en la armadura paralela a los lados:

\[ A_{s,lado} = \frac{\sqrt3\,N_d}{27\,d\,f_{yd}}\left(e\sqrt3 - 0{,}9\,a_p\right) \]

Por qué paralela a los lados, y no en las medianas

La disposición con armadura en las medianas se usó mucho en el pasado, pero tiene dos defectos: la superposición de los tres haces de barras en el centro del encepado, y una fisuración elevada en las caras laterales causada por la falta de apoyo en los extremos de las barras — la llamada "armadura en vacío".

Además, no cumple la NBR 6118 (22.7.4.1.1), que exige al menos el 85 % de la armadura de flexión en las franjas definidas por los pilotes.

La configuración recomendada es la armadura principal paralela a los lados, con malla ortogonal — la más usada en Brasil, con menor fisuración y mayor economía.

Dimensiones en planta

Según la sugerencia de Campos (2015), la dimensión \(A\) del ala del triángulo vale aproximadamente \(1{,}154\,a\), con \(a\) la distancia del eje del pilote a la cara.

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Cuatro pilotes — cuadrado

\[ \tan\alpha = \frac{d}{e\dfrac{\sqrt2}{2} - a_p\dfrac{\sqrt2}{4}} \qquad R_s = \frac{N\sqrt2}{16}\left(\frac{2e - a_p}{d}\right) \qquad R_c = \frac{N}{4\,\text{sen}\,\alpha} \]

\(R_s\) es la fuerza de tracción en la dirección de las diagonales.

Canto útil

Para \(45^\circ \le \alpha \le 55^\circ\):

\[ d_{min} = 0{,}71\left(e - \frac{a_p}{2}\right) \qquad\qquad d_{máx} = e - \frac{a_p}{2} \]

Bielas

\[ \sigma_{cd,b,pil} = \frac{N_d}{A_p\,\text{sen}^2\alpha} \qquad \sigma_{cd,b,est} = \frac{N_d}{4\,A_e\,\text{sen}^2\alpha} \qquad \sigma_{lim} = 2{,}1\,K_R\,f_{cd} \]

Armadura principal

Hay cuatro detallados posibles, y no son equivalentes:

Detallado	Desempeño
a) Dirección de las diagonales	Fisuras laterales excesivas ya con cargas reducidas
b) Paralela a los lados	Uno de los más eficientes — el más usual en la práctica
c) Diagonales + paralela a los lados	—
d) Malla única	Carga de rotura inferior a las demás, eficiencia del 80 %; mejor desempeño frente a la fisuración

Los detallados a, c y d no cumplen la prescripción de la NBR 6118 (22.7.4.1.1) de que más del 85 % de la armadura quede en las franjas de los pilotes.

Para el detallado b, con adición de malla:

\[ A_{s,lado} = \frac{N_d}{16\,d\,f_{yd}}\left(2e - a_p\right) \]

\[ A_{s,malha} = 0{,}25\,A_{s,lado} \ \ge\ \frac{A_{s,susp}}{4} \qquad\text{(en cada dirección)} \]

\[ A_{s,susp} = \frac{N_d}{6\,f_{yd}} \]

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Cinco pilotes — cuadrado con uno en el centro

El procedimiento es el del encepado sobre cuatro pilotes, sustituyendo \(N\) por \(\frac{4}{5}N\) — el pilote central recibe su parte sin generar tirante.

\[ R_s = \frac{4}{5}\cdot\frac{N\sqrt2}{16}\cdot\frac{2e - a_p}{d} \]

Canto útil

Para \(45^\circ \le \alpha \le 55^\circ\), el mismo del encepado de cuatro pilotes:

\[ d_{min} = 0{,}71\left(e - \frac{a_p}{2}\right) \qquad d_{máx} = e - \frac{a_p}{2} \]

Bielas

\[ \sigma_{cd,b,pil} = \frac{N_d}{A_p\,\text{sen}^2\alpha} \qquad \sigma_{cd,b,est} = \frac{N_d}{5\,A_e\,\text{sen}^2\alpha} \]

\[ \sigma_{lim,pil} = 2{,}6\,K_R\,f_{cd} \qquad\qquad \sigma_{lim,est} = 2{,}1\,K_R\,f_{cd} \]

Armaduras

\[ A_{s,lado} = \frac{4}{5}\cdot\frac{N_d}{16\,d\,f_{yd}}\left(2e-a_p\right) = \frac{N_d}{20\,d\,f_{yd}}\left(2e - a_p\right) \]

\[ A_{s,malha} = 0{,}25\,A_{s,lado} \ \ge\ \frac{A_{s,susp}}{4} \qquad\qquad A_{s,susp} = \frac{N_d}{7{,}5\,f_{yd}} \]

Pilar muy alargado

Para pilares muy rectangulares, se proyecta un encepado rectangular sobre cinco pilotes, tratado como encepado de cuatro pilotes con las fórmulas adaptadas a las distancias distintas.

Otra opción es disponer una fila con tres pilotes y otra con dos — en ese caso el cálculo se asemeja al de los encepados con más de seis pilotes.

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Cinco pilotes — pentágono

Los pilotes quedan en los vértices de un pentágono, con el centro del pilar cuadrado coincidente con su centro geométrico.

\[ \tan\alpha = \frac{d}{0{,}85\,e - 0{,}25\,a_p} \qquad R_s = \frac{0{,}85\,N}{5\,d}\left(e - \frac{a_p}{3{,}4}\right) \]

Canto útil

Para \(45^\circ \le \alpha \le 55^\circ\):

\[ d_{min} = 0{,}85\left(e - \frac{a_p}{3{,}4}\right) \qquad d_{máx} = 1{,}2\left(e - \frac{a_p}{3{,}4}\right) \]

Verificación de bielas no requerida

Si \(d\) se adopta entre \(d_{min}\) y \(d_{máx}\), no es necesario verificar las tensiones de compresión en las bielas.

Armaduras

Descomponiendo en la dirección paralela a los lados, con \(R'_s = \dfrac{R_s}{2\cos 54^\circ}\):

\[ A_{s,lado} = \frac{0{,}725\,N_d}{5\,d\,f_{yd}}\left(e - \frac{a_p}{3{,}4}\right) \]

\[ A_{s,malha} = 0{,}25\,A_{s,lado} \ \ge\ \frac{A_{s,susp,tot}}{5} \qquad\qquad A_{s,susp,tot} = \frac{N_d}{7{,}5\,f_{yd}} \]

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Seis pilotes — pentágono con uno en el centro

Se procede como en el encepado sobre cinco pilotes en pentágono, sustituyendo \(N\) por \(\frac{5N}{6}\):

\[ R_s = \frac{0{,}85\,N}{6\,d}\left(e - \frac{a_p}{3{,}4}\right) \]

Canto útil idéntico al del pentágono de cinco pilotes, y verificación de bielas igualmente no requerida dentro del intervalo.

Por la ley de los senos, \(R'_s = R_s\dfrac{\text{sen}\,54^\circ}{\text{sen}\,72^\circ} = 0{,}85\,R_s\):

\[ A_{s,lado} = \frac{0{,}725\,N_d}{6\,d\,f_{yd}}\left(e - \frac{a_p}{3{,}4}\right) \]

\[ A_{s,malha} = 0{,}25\,A_{s,lado} \ \ge\ \frac{A_{s,susp,tot}}{5} \qquad\qquad A_{s,susp,tot} = \frac{N_d}{7{,}5\,f_{yd}} \]

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Seis pilotes — hexágono

Los pilotes quedan junto a los vértices del hexágono, con el pilar cuadrado centrado.

\[ \tan\alpha = \frac{d}{e - \dfrac{a_p}{4}} \qquad R_s = \frac{N}{6\,d}\left(e - \frac{a_p}{4}\right) \]

Canto útil

Para \(45^\circ \le \alpha \le 55^\circ\):

\[ d_{min} = e - \frac{a_p}{4} \qquad d_{máx} = 1{,}43\left(e - \frac{a_p}{4}\right) \]

Verificación de bielas no requerida dentro del intervalo.

Armaduras

Aquí la ley de los senos da \(\dfrac{R_s}{\text{sen}\,60^\circ} = \dfrac{R'_s}{\text{sen}\,60^\circ}\), es decir, \(R'_s = R_s\) — la descomposición no altera la fuerza.

\[ A_{s,lado} = \frac{N_d}{6\,d\,f_{yd}}\left(e - \frac{a_p}{4}\right) \qquad\text{(en cada uno de los 6 lados)} \]

\[ A_{s,malha} = 0{,}25\,A_{s,lado} \]

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Seis pilotes — rectangular

Indicado para pilares rectangulares y alargados. Las fuerzas \(R_{sx}\) y \(R_{sy}\) se tratan por separado en cada dirección, con las distancias correspondientes.

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Siete pilotes — hexágono con uno en el centro

El séptimo pilote queda en el centro del encepado, bajo el pilar. Para \(45^\circ \le \alpha \le 55^\circ\):

\[ d_{min} = e - \frac{a_p}{4} \qquad d_{máx} = 1{,}43\left(e - \frac{a_p}{4}\right) \]

La compresión en las bielas no necesita verificarse si \(d\) está en el intervalo.

Las armaduras se disponen en la dirección de las diagonales, con zunchos paralelos a los lados:

\[ A_{s,diag} = \frac{(1-k)\,N_d}{7\,d\,f_{yd}}\left(e - \frac{a_p}{4}\right) \qquad A_{s,cinta} = \frac{k\,N_d}{7\,d\,f_{yd}}\left(e - \frac{a_p}{4}\right) \]

con

\[ \frac{2}{5} \le k \le \frac{3}{5} \]

El parámetro \(k\) reparte la fuerza entre las diagonales y los zunchos — es una elección de proyecto dentro de ese rango.

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Armaduras complementarias

Valen para cualquier número de pilotes: las prescripciones de la NBR 6118 para armaduras en malla y de suspensión son generales.

Armadura en malla

La NBR 6118 (22.7.4.1.2) exige, para controlar la fisuración, una armadura inferior adicional, independiente de la armadura principal de flexión, en malla uniformemente distribuida en dos direcciones ortogonales, correspondiente al 20 % del total de las fuerzas de tracción en cada una de ellas.

Armadura de suspensión

La NBR 6118 (22.7.4.1.3) exige armadura de suspensión para la parte de carga a equilibrar si se prevé armadura de reparto para más del 25 % de los esfuerzos totales o si la separación entre pilotes es mayor que tres veces la altura del encepado.

De modo general, independientemente de ello, puede prescribirse:

\[ A_{s,susp,tot} = \frac{N_d}{1{,}5\,n_e\,f_{yd}} \]

con \(n_e\) el número de pilotes. La armadura por cara es el total dividido por el número de caras del encepado.

Para qué sirve

La armadura de suspensión evita fisuras en las regiones entre los pilotes. Pueden aparecer porque se forman bielas comprimidas que transfieren parte de la carga del pilar a las regiones inferiores del encepado, entre los pilotes, y que se apoyan en las armaduras paralelas a los lados.

De ahí nacen tracciones que deben suspenderse hacia las regiones superiores del encepado, desde donde llegan a los pilotes.

Armadura superior

\[ A_{s,sup} = 0{,}2\,A_s \qquad\text{(en cada dirección de la malla)} \]

Armadura de piel

En cada cara vertical lateral, en forma de estribos o barras horizontales:

\[ A_{sp,face} = \frac{1}{8}\,A_{s,total} \]

con \(A_{s,total}\) la armadura principal total — \(3A_{s,lado}\) en el encepado de tres pilotes, \(4A_{s,lado}\) en el de cuatro, y así sucesivamente.

Separación: \(s \le \min\left(\dfrac{d}{3};\ 20\ \text{cm}\right)\), y \(s \ge 8\) cm por recomendación práctica.

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Método del CEB-70

Alternativa al Método de las Bielas para encepados rígidos, semejante al procedimiento de las zapatas. La altura del encepado queda limitada por

\[ \frac{2}{3}c \le h \le 2c \qquad\text{y}\qquad d \ge \ell_{b,\phi,pil} \]

donde \(c\) es la distancia de la cara del pilar al eje del pilote más alejado.

El método calcula la armadura principal para la flexión, determinada en relación con una sección de referencia \(S_1\) situada dentro del pilar, a \(0{,}15\,a_p\) de la cara — y verifica la resistencia del encepado a las fuerzas cortantes.

El PCO no implementa el CEB-70

Los modelos ofrecidos son Blévot y MBT. El CEB-70 figura aquí como referencia, por ser uno de los métodos históricamente más utilizados en Brasil y aceptado por la norma.

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Límites de validez

Rango de aplicación

• Todas las expresiones suponen un pilar centrado y pilotes igualmente separados del centro del pilar. Con momentos o excentricidad, la formulación pura no se aplica.
• Suponen un pilar de sección cuadrada — el rectangular entra por el equivalente \(a_{p,eq} = \sqrt{a_p b_p}\), una aproximación tanto peor cuanto más alargado sea el pilar.
• Los intervalos de canto útil vienen de \(45^\circ \le \alpha \le 55^\circ\) (Machado) o \(40^\circ \le \alpha \le 55^\circ\) (Blévot). Fuera de ellos, la exención de verificar las bielas no vale, y deben verificarse explícitamente.
• Los límites \(\sigma_{lim}\) son los de Blévot, no los de la NBR 6118 vigente. Para verificar contra la norma actual, use el MBT.
• Los ensayos de Blévot cubrieron encepados de hasta seis pilotes. Las expresiones para siete pilotes y para disposiciones compuestas extrapolan esa base experimental.