Momento-curvatura¶

Análise não linear da seção: em vez de responder "quanto de aço", ela responde como a seção se comporta à medida que é carregada, até a ruptura.

É o que mostra a rigidez efetiva e a ductilidade — duas coisas que o dimensionamento no estado limite último não revela.

A relação tensão-deformação real¶

O dimensionamento usa o bloco retangular equivalente, que é uma simplificação conveniente para integrar à mão. A análise não linear usa a relação parábola-retângulo da NBR 6118, que é a curva real:

\[ \sigma_c = \begin{cases} 0{,}85\,f_{cd}\left[1 - \left(1 - \dfrac{\varepsilon_c}{\varepsilon_{c2}}\right)^{n}\right] & 0 \le \varepsilon_c \le \varepsilon_{c2} \\[10pt] 0{,}85\,f_{cd} & \varepsilon_{c2} < \varepsilon_c \le \varepsilon_{cu} \end{cases} \]

O trecho parabólico sobe até \(\varepsilon_{c2}\); daí em diante a tensão fica constante até a deformação última.

O procedimento¶

Para cada valor de curvatura \(\chi\), a seção está em equilíbrio quando a resultante de compressão no concreto e a de tração no aço se anulam. A incógnita é a profundidade da linha neutra.

O programa a encontra por bisseção — scipy.optimize.bisect —, procurando entre limites físicos aceitáveis a posição em que o equilíbrio fecha. Com a linha neutra conhecida, o momento resistente correspondente sai da integração das tensões.

Repetindo isso para uma sequência de curvaturas — 100 passos por padrão — constrói-se o diagrama \(M\)–\(\chi\).

Por que bisseção, e não Newton

A bisseção é mais lenta que Newton, mas não depende da derivada e não diverge. A relação constitutiva do concreto tem um ponto anguloso em \(\varepsilon_{c2}\), onde a parábola encontra o patamar — e é exatamente o tipo de descontinuidade de derivada que faz Newton errar o passo.

Com cem pontos por diagrama, a diferença de velocidade é irrelevante.

O que o diagrama mostra¶

A rigidez efetiva. A inclinação inicial do diagrama é a rigidez \(EI\) da seção não fissurada; depois da fissuração ela cai, e é essa rigidez reduzida — não a da seção bruta — que governa deslocamentos reais.

A ductilidade. O comprimento do patamar antes da ruptura diz quanta rotação a seção suporta. É o que permite (ou não) a redistribuição de momentos que o coeficiente \(\beta\) do dimensionamento pressupõe — ver flexão.

O tipo de ruína. Uma seção subarmada escoa o aço antes de esmagar o concreto, e o diagrama tem patamar longo. Uma superarmada rompe pelo concreto, e o diagrama termina abruptamente — ruína frágil, sem aviso.

Limites de validade¶

Faixa de aplicação

É análise de seção, não de peça. Não fornece flechas: para isso seria preciso integrar a curvatura ao longo do vão, com o diagrama de momentos.
Não considera tension stiffening — a contribuição do concreto tracionado entre fissuras. Isso subestima a rigidez na fase fissurada.
Não considera fluência nem retração, que em serviço reduzem substancialmente a rigidez ao longo do tempo.
Usa os valores de cálculo das resistências. Para um diagrama que represente o comportamento esperado — e não o de projeto —, seriam necessários valores médios.
O diagrama é monotônico: não representa ciclos de carga e descarga, nem o comportamento sob ações repetidas.